周环宇——例析裂项相消法替代错位相减法之优越性

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例析裂项相消法替代错位

相减法之优越性

湖南省桑植县第一中学   周环宇

数列的通项为等差数列乘等比数列的结构形式，即等差等比，取名叫差比型数列。此类数列求和，适合用错位相减法求其前n项和S_n。一般，教师也都是传授用错位相减法求该数列前n项和Sn，并总结成一个非常固定的套路，由此，这一解法就成了通法，也似乎成了唯一的方法。

尤其是，对于错位相减法，按照“和式乘公比——往后错一位——两式再相减——化简和整理”的套路，多数学生经过模仿和大量训练，能够按错位相减法的步骤完成解题。但多数学生的痛点是最后的化简和整理，耗时长，易出错，心理没有底。对于错位相减法，时常出现“我会做，但不能保证全对”的尴尬现象，这是很多学生共同的无奈的心声，对此，老师也很痛惜。

掌握通法，是解题的一般要求，对付考试，通法是必须要掌握好的。但通法，容易固化人的思维，养成思想上的懒汉行为，不思进取，满足于眼前，让人失去探索创新的激情。下面，在教学中，尝试向学生传授裂项相消法解决差比型数列的求和问题，以唤起学生沉睡已久的探索创新的激情，以获得享受学习数学的乐趣，欣赏数学无穷无尽之美的快乐！尤其是我个人认为，用裂项相消法求差比型数列前n项和Sn，远比错位相减法优越的多。下面的解法研究共大家参考。

    首先请看示例一：

说明：此题是常规的数列求和，数列的通项就是等差数列乘等比数列的结构形式，即差比型数列。常规情况下，都是用错位相减法求其前n项和Sn，错位相减法都很熟悉，在此不做解答。下面，笔者用裂项相消法去求此差比型数列的前n项和Sn.

解答完毕！

    再看示例二：

  差比型数列求和推广成一般形式如下：

    此公式若用错位相减法去证明的法，显然要复杂很多顺。带说一下，这也就是网课中流传的秒杀公式，网课老师为节省时间，只讲所谓的公式，不讲公式的来源，让参与学习的学生劳心伤神的死记公式，或者教学生先按错位相减法的固定步骤写基本过程，再用公式S_n=(An+B)qⁿ⁺¹-bq，取特殊值，得出最后的正确答案。毫无疑问，这也是一种得分的手段，但很不可取。这是搞成了背数学，而不是学数学，更不是享受数学。

通过以上分析与解答，凡是求差比型数列的前项和，都可以用裂项相消法来实现求和。

裂项相消法和错位相减法，都是针对一些特殊类数列求和采用的方法，虽然都是套路性的通法，操作起来也都是一种模仿式的死动作，但都体现了描写数学规律之高级美学。个人认为，错位相减法相对于裂项相消法，在思维上更死板，书写过程也费时，且计算上更繁琐更易出错更费时，所以用裂项相消法替代错位相减法，有很大的优越性，希望裂项相消法成为求差比型数列的主流方法。同时，更具一般性的是，当不是差比型数时，如示例二所示，照样可以用裂项相消法求和，所以，裂项相消法是更通用的方法，应该成为差比型数列求和的主流。若从欣赏数学之美的角度和一题多解的角度，可以讲授错位相减法；若只从考试的角度，则只需重点训练裂项相消法，这是明显的优越性所决定的。

               2021.9.18

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